Colisiones en dos dimensiones



Descripción en el Sistema de Referencia del Laboratorio

 

Supongamos que chocan dos discos o esferas de masas m1 y m2 y radios r1 y r2.

 

Se denomina parámetro de impacto b a la distancia entre la dirección de la velocidad del primer disco u1 y el centro del segundo disco que suponemos inicialmente en reposo.

b=(r1+r2)·senθLas velocidades de los discos antes del choque respecto del sistema de ejes X e Y

u1=u1·cosθ·i+u1·senθ·j
u2=0

Las velocidades de discos después del choque respecto del sistema de ejes X e Y

v1=v1·cos(θ+fi+v1·sen(θ+fj
v2=
v2i

El principio de conservación del momento lineal se escribe

m1·u1+m2·u2=m1·v1+m2·v2

o bien,

El coeficiente de restitución nos mide el cociente cambiado de signo, entre la velocidad relativa de alejamiento a lo largo del eje X y la velocidad relativa de aproximación a lo largo del mismo eje.

Dado el parámetro de impacto b obtenemos el ángulo q. De la segunda y tercera ecuación, podemos despejar el ángulo entre las direcciones de las velocidades de los discos después del choque

Choque elástico

Cuando los discos tienen la misma masa  m1=m2, y el choque es elástico e=1. El ángulo que forman las direcciones de las velocidades después del choque es θ+f=90º, y sus módulos son, respectivamente

v1=u1·senθ
v2=u1
·cosθ

b=(r1+r2)·senθ
f
=90º-θ

Descripción en el Sistema de Referencia del Centro de Masas

La velocidad del centro de masas es el cociente entre el momento lineal total P, y la masa del sistema de partículas

 
 

 

 

 

Las velocidades iniciales de las partículas en el Sistema-C son

Las velocidades finales del las partículas en el Sistema-L son

Las velocidades finales del las partículas en el Sistema-C son

Comprobamos que se cumple el principio de conservación del momento lineal en el Sistema-C

 
 

 

 

La energía perdida en la colisión Q es la diferencia de las energías cinéticas después del choque y antes del choque bien referidas al Sistema-L o al Sistema-C. Pero es mucho más fácil calcular esta diferencia en el Sistema-C.

 
 

 

 

 

 

Ejemplos

1.-Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve con 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección inicial.

Los datos son

u1=0.4·i
u2
=0
v1
=0.2cos40·i+0.2·sen40·j

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal

0.2·u1=0.2·v1+0.3·v2

y despajemos la velocidad v2 de la segunda partícula después del choque

v2=0.034·i-0.039·j

El módulo de la velocidad es  v2=0.05 m/s, el ángulo que forma con el eje X es θ=-48.6º

La energía que se pierde en la colisión es

2.-Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg inicialmente en reposo. Si el choque es elástico y la primera partícula se ha desviado 50º de la dirección original del movimiento, calcular la velocidad de cada partícula después del choque

Los datos son

u1=2·i
u2
=0
v1
=v1cos50·i+v1·sen50·j

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal y despajemos la velocidad v2 de la segunda partícula después del choque

u1=5·v1+8·v2

Si el choque es elástico la energía cinética de las partículas no cambia

En la ecuación de la conservación del momento lineal, despejamos v2 y calculamos el cuadrado de su módulo

Nos queda la ecuación de segundo grado

  • La primera solución es

v1=1.57 m/s

La velocidad de la segunda partícula es

v2=0.62·i-0.75·j

El módulo de v2=0.97 m/s y hace un ángulo de -50.7º con el eje X, tal como se ve en la parte izquierda de la figura.

  • La segunda solución es

v1=-0.59 m/s

La primera partícula se mueve con velocidad v1=0.59 m/s haciendo un ángulo de 180+50=230º con el eje X.

La velocidad de la segunda partícula es

v2=1.49·i-0.28·j

El módulo de v2=1.51 m/s y hace un ángulo de 10.7º con el eje X, tal como se ve en la parte derecha de la figura.

3.– Datos del choque

  • u1=3.5 m/s

  • u2=0

  • Las partículas tienen la misma masa m1=m2=1

  • El parámetro de impacto b=0.8

  • El choque elástico e=1

El ángulo θ que forma la dirección de la velocidad de la segunda partícula después del choque es

b=(r1+r2)·senθ,

0.8=2· senθ, θ=23.6º

Calculamos el ángulo f que forma la dirección de la velocidad de la primera partícula

Calculamos la velocidad de la primera partícula después del choque

Calculamos la velocidad de la segunda partícula después del choque

4.-Datos del choque

  • u1=3.5 m/s

  • u2=0

  • m1=1

  • m2=2

  • El parámetro de impacto b=0.8

  • Coeficiente de restitución e=0.9

Resultados

0.8=2· senθ, θ=23.6º

 θ+f =121.4º, f=97.8º

v1=1.64 m/s, v2=2.03 m/s

Calculamos la energía perdida en la colisión

O bien, por la fórmula

 

 

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