Movimiento en el plano

MOVIMIENTO EN EL PLANO

Consideremos un punto móvil cuya trayectoria con respecto a un marco de referencia bien determinado es una curva plana, es decir, una curva enteramente contenida en un plano, como un círculo o una parábola, a diferencia de una curva espacial alabeada, como una hélice.

Como ya vimos, los conceptos fundamentales de la cinemática son los de marco de referencia, posición r, velocidad v y aceleración a . En el movimiento rectilíneo los vectores v  y a  tenían la misma dirección de la recta. Ahora, en el movimiento curvilíneo, sus direcciones son distintas y su significación e interpretación geométrica se enriquecen.

Posición

Fijemos un origen O en el marco de referencia. En un instante t, el punto móvil se encuentra

en P y su posición está dada por el vector posición r . La posición r  es una función vectorial del tiempo, r  : a cada instante t le corresponde unívocamente un vector r

Se llama desplazamiento r Δ durante el intervalo de tiempo Δ t , al cambio en el vector

Posición  r’ .

El desplazamiento tiene la dirección de la cuerda entre los puntos P y P’ , y se mide por ella y

no por el arco de curva.

Velocidad

La velocidad del punto móvil en el instante t se define como el límite de la velocidad media

cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero y es, como ya vimos, la derivada respecto al

tiempo de la función vectorial r.

                                                                                                                                                                                                            (1)

 

.

La dirección del vector velocidad tiene una interpretación geométrica fundamental. Como la

velocidad media tiene la dirección del desplazamiento r r Δ y éste está en dirección de la

cuerda, la dirección de v r es el límite de las direcciones de las cuerdas trazadas desde el punto

P a un punto P’ , a medida que el punto P’ se aproxima a P. ¡ Pero ésta es la definición de lo

que es la tangente a una curva en un punto !

 

Aceleración

La aceleración del punto móvil en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el

intervalo de tiempo Δ t tiende a cero. Es entonces la derivada respecto al tiempo de la

función vectorial velocidad.

(2)

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante lo podemos calcular integrando

 (3) o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

                                    (4)

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

(5)

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