Trabajo y Energia

El trabajo se puede definir de manera explicita y cuantitativa cuando:

1.- Exista una fuerza aplicada

2.- Dicha fuerza debe actuar a través de cierta distancia llamada desplazamiento

3.- La fuerza debe actuar a través d
e cierta distancia llamada desplazamiento. 

4.- La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento

Se denomina trabajo, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento(Fig.1)

Fig.1. Representacion del significado del concepto de Trabajo.

Matematicamente:
 
                                            (1)
 
                                                 (2)

Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y q  el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos en cada uno de los puntos diferenciales.

Es claro de (2), que el Trabajo equivale al area bajo la curva de F(x), Fig.2:


Fig.2 Significado Matematico de la definición cuantitativa de Trabajo.
Tenga en cuenta las siguientes recomendaciones, basado en  la Fig.3:
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

Fuerza conservativa. Energía potencial

Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial. (3)

                                        (3)

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B. El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.(4)

                                                         (4)

El peso es una fuerza conservativa

Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.

                         (5)

La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional

                                                          (6)

Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.

Fuerza Elastica.

Como vemos en la figura cuando un resorte se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.

Para x>0, F=-kx

Para x<0, F=kx

El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición xA a la posición xB es

                                          (7)

La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale

                                                  (8)

El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.

Principio de conservación de la energía

Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial

                                                   (9)

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.

                                                 (10)

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía

 

 

 

  

EkA+EpA=EkB+EpB                                                               (11) 

La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.

Ejemplo

Se lanza una partícula mediante un dispositivo que consiste esencialmente en un resorte comprimido. Primero, la partícula desliza a lo largo de un plano horizontal. Luego, entra en un bucle y a continuación, si consigue describir el rizo, pasa a un plano inclinado.

Se supone que existe rozamiento entre la partícula y los planos horizontal e inclinado, pero no existe rozamiento en el bucle, por razón de simplicidad de cálculo.

En esta sección analizaremos cada una de las etapas en las que se puede dividir el bucle

  1. Plano horizontal A-B
bucle6.gif (680 bytes)
Si comprimimos el muelle una distancia x y luego, lo soltamos en la posición A, podemos calcular la velocidad de la partícula en la entrada B del bucle, aplicando las ecuaciones del balance de energía.
En la posición A, la partícula solamente tiene energia potencial elastica.
Siendo k la constante elástica del muelle, que se transforma en energía cinética en la posición B
En el trayecto AB se pierde energía debido al rozamiento
WAB=-Fr(x+0.7)=-mkmg(x+0.7)
 

Donde x+0.7 es la distancia entre los puntos A y B.

De la ecuación del balance energetico WAB=EB-EA obtenemos vB
 

 

 

  

  

   

  • Bucle
El análisis del comportamiento de la partícula en el bucle es algo más complejo y pueden ocurrir alguna de las siguientes situaciones:
  1. Describe el bucle
bucle7.gif (1127 bytes)
De la conservacion de la energia (en el bucle no hay rozamiento) calculamos la velocidad de la partícula en la parte superior del bucle C, conocida la velocidad en la parte inferior B.

Siendo R el radio del bucle
Ahora bien, si la velocidad de la partícula en la posición C es inferior a un valor mínimo, no describirá el bucle.
De las ecuaciones de la dinamica del movimiento circular tenemos que
Siendo NC la fuerza normal en C, o fuerza que ejerce el raíl sobre la partícula en dicha posición. La velocidad mínima se obtiene cuando NC=0.
. Entonces
Podemos ahora pensar qué ocurre si no se alcanza la velocidad mínima vCmín
  1. Asciende a lo largo del bucle hasta que su velocidad es cero
Aplicando el principio de conservación de la energía calculamos el ángulo q

 
  1. Si el ángulo es mayor que 90º o p /2.
    El ángulo q  se calcula mediante la dinámica del movimiento circular y el principio de conservación de la energía.
    La partícula deja de tener contacto con el bucle en el instante en el que la fuerza normal es cero, N=0. Por lo que
    En dicho instante, la partícula se mueve bajo la única fuerza de su propio peso describiendo un movimiento curvilineo o un tiro parabólico.
    Situamos los ejes en el centro del bucle. La posición de lanzamiento, tal como se ve en la figura anterior, es
    x0=R·sen(180-q )
    y0=R·
    cos(180-q )
    Las velocidades iniciales, en el momento del lanzamiento, son
    v0x=-v·cos(180-q )
    v0y=v·
    sen(180-q )
    En las situaciones 1 y 2, la partícula regresa a la posición B con la misma velocidad con la que entró en el bucle, ya que como se ha mencionado el bucle no tiene rozamiento.
  • Plano inclinado
Si la partícula describe el bucle entra en el plano inclinado con una velocidad vD que se calcula mediante el principio de consevacion de la energia.
Una vez en el plano, el móvil se frena debido a la componente del peso a lo largo del plano inclinado y a la fuerza de rozamiento. La partícula recorre una distancia x a lo largo del plano inclinado hasta que se para.
El Balance energetico o las ecuaciones de la dinámica del movimiento rectilíneo nos permiten calcular x.

Aplicando el balance energético WDE=EE-ED despejamos x.

 

 

 

 

 

 

  

  

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